上传用户: 五虎淳美
内容简介 · · · · · ·本书是为准备攻读研究生的同学准备的数学入门读物。本书用通俗的语言和非严谨的介绍，给出了多个数学分支的概貌。这些数学分支包括：线性代数、实分析、向量函数微积分、点集拓扑、经典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲线和曲面的曲率、几何学、复分析、可数和选择公理、代数、Lebesgue积分、Fourier分析、微分方程、组合数学和概率论、算法。本书适合攻读电子类、信息类、材料类、生物类、化工类、机械类等工程类专业研究生的读者阅读。本书也可作为一学期课程的教材使用。作者简介 · · · · · ·托马斯·A.加里蒂是美国马萨诸塞州威廉姆斯学院数学教授，是该学院“有效教学”项目的主管。托马斯·A加里蒂于德克萨斯大学奥斯汀分校获得学士学位，于布朗大学获得博士学位。他曾与1986年至1989年间，担任莱斯大学Evans讲席教师。托马斯·A.加里蒂曾获得美国数学协会（MAA）颁发的大学杰出教学奖（MAA Deborah and Franklin Tepper Haimo Award for outstandingcollege or university teaching）。除了众多的学术论文外，托马斯·A.加里蒂还写了另外一本教材《Algebraic Geometry：A Problem Solving Approach》。目录 · · · · · ·前言关于数学的结构主题概要0.1线性代数0.2实分析0.3向量值函数的微积分0.4点集拓扑0.5经典Stokes定理0.6微分形式和Stokes定理0.7曲线和曲面的曲率0.8几何学0.9复分析0.10可数性和选择公理0.11代数0.12勒贝格积分0.13傅里叶分析0.14微分方程0.15组合学和概率论0.16算法第1章线性代数1.1介绍1.2基本向量空间Rn1.3向量空间和线性变换1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换1.5行列式1.6线性代数基本定理1.7相似矩阵1.8特征值和特征向量1.9对偶向量空间1.10推荐阅读1.11练习第2章ε和δ实分析2.1极限2.2连续性2.3微分2.4积分2.5微积分基本定理2.6函数的点态收敛2.7一致收敛2.8WeierstrassM判别法2.9Weierstrass的例子2.10推荐阅读2.11练习第3章向量值函数的微积分3.1向量值函数3.2向量值函数的极限和连续性3.3微分和Jacobi矩阵3.4反函数定理3.5隐函数定理3.6推荐阅读3.7练习第4章点集拓扑4.1基础定义4.2Rn上的标准拓扑4.3度量空间4.4拓扑基4.5交换环的Zariski拓扑4.6推荐阅读4.7练习第5章经典Stokes定理5.1关于向量微积分的准备工作5.1.1向量场5.1.2流形和边界5.1.3路径积分5.1.4曲面积分5.1.5梯度5.1.6散度5.1.7旋度5.1.8可定向性5.2散度定理和Stokes定理5.3散度定理的物理解释5.4Stokes定理的物理解释5.5散度定理的证明梗概5.6Stokes定理的证明梗概5.7推荐阅读5.8练习第6章微分形式和Stokes定理6.1平行六面体的体积6.2微分形式和外导数6.2.1初等k—形式6.2.2k—形式的向量空间6.2.3处理k—形式的准则6.2.4微分k—形式和外导数6.3微分形式和向量场6.4流形6.5切空间和定向6.5.1隐式和参数化流形的切空间6.5.2抽象流形的切空间6.5.3向量空间的定向6.5.4流形和它的边界的定向6.6流形上的积分6.7Stokes定理6.8推荐阅读6.9练习第7章曲线和曲面的曲率7.1平面曲线7.2空间曲线7.3曲面7.4GaussBonet定理7.5推荐阅读7.6练习第8章几何学8.1欧式几何8.2双曲几何8.3椭圆几何8.4曲率8.5推荐阅读8.6练习第9章复分析9.1解析函数9.2柯西—黎曼方程9.3复变函数的积分表示9.4解析函数的幂级数表示9.5保角映射9.6黎曼映射定理9.7多复变数：哈托格斯定理9.8推荐阅读9.9练习第10章可数性和选择公理10.1可数性10.2朴素集合论与悖论10.3选择公理10.4不可测集10.5哥德尔和独立性证明10.6推荐阅读10.7练习第11章代数11.1群11.2表示论11.3环11.4域和迦罗瓦理论11.5推荐阅读11.6练习第12章勒贝格积分12.1勒贝格测度12.2康托集12.3勒贝格积分12.4收敛理论12.5推荐阅读12.6练习第13章傅里叶分析13.1波函数，周期函数和三角学13.2傅里叶级数13.3收敛问题13.4傅里叶积分和变换13.5求解微分方程13.6推荐阅读13.7练习第14章微分方程14.1基本知识14.2常微分方程14.3拉普拉斯算子14.3.1平均值原理14.3.2变量分离14.3.3在复分析上的应用14.4热传导方程14.5波动方程14.5.1来源14.5.2变量代换14.6求解失败：可积性条件14.7Lewy的例子14.8推荐阅读14.9练习第15章组合学和概率论15.1计数15.2概率论基础15.3独立性15.4期望和方差15.5中心极限定理15.6n！的Stirling近似15.7推荐阅读15.8练习第16章算法16.1算法和复杂度16.2图：欧拉和哈密顿回路16.3排序和树16.4P=NP？16.5数值分析：牛顿法16.6推荐阅读16.7练习附录等价关系参考文献
